Les huit nombres
Ces huit nombres ont une propriété bien spéciale.
On veut que
- la somme de 2 nombres de deux cases consécutives soit divisible par 2, de 3 cases consécutives par 3, de 4 cases consécutives par 4, … jusqu’à 8.
- la somme des 8 cases doit être la plus petite possible!
Le raisonnement s’appuie sur le résultat: 2(1+2+3+...+(n-1))=n(n+1)
On a alors que n et n+1 divisent la somme des entiers consécutifs jusqu'à n. On est donc assuré que si la première case contient le nombre K et qu'on ajoute 2, 4, 6, ... aux cases suivantes (en raison du facteur 2 devant la somme des n premiers nombres), on respectera la condition 1.
Considérons la grille suivante:
K | K+2 | K+4 | K+6 | K+8 | K+10 | K+12 | K+14 |
Pour respecter la condition 2, il suffit de prendre K=1 qui est le plus petit entier positif, ce qui donne les grilles suivantes:
1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
ou
15 | 13 | 11 | 9 | 7 | 5 | 3 | 1 |
Source: demi-finale de la 19ième édition du concours de l'AQJM, numéro 13.