Voici la réponse :

La longueur du plus grand côté est de 6 cm.

Voici la solution :

Pour calculer l’aire d’un rectangle, on doit multiplier la base et la hauteur. Pour calculer le périmètre, on doit faire la somme de chaque côté. Pour la suite, on utilisera la lettre b pour la base et la lettre h pour la hauteur.

Aire = bh

Périmètre = b+b+h+h=2b+2h

Comme le rectangle n’est pas carré, la longueur de la base est différente de la longueur de la hauteur.

Comme on veut que le périmètre soit égale à la base, on veut que :

bh = 2b+2h

On tente de trouver une valeur de b qui fait en sorte que l'équation est vérifiée. Par exemple, supposons en premier que la base mesure 1 cm :

1×h = 2×1+2×h

h = 2+2h

-h=2

On obtient que la hauteur devrait être un nombre négatif. La base ne peut donc pas être de 1 cm de longueur, car la longueur d’un côté ne peut pas être négative. On peut ensuite essayer avec une base de 2 cm :

2×h = 2×2+2×h

2h = 4+2h

0 = 4

On obtient, cette fois, que 0 doit être égale à 4, ce qui est aussi impossible. On essaie ensuite avec une base de 3 cm :

3×h = 2×3+2×h

3h = 6+2h

h = 6

Cette fois, la réponse a du sens. On trouve que le rectangle qui respecte la condition de l’énigme doit avoir une base de 3 cm et une hauteur de 6 cm (ou vice-versa). Ainsi, la longueur du plus grand côté est 6 cm.

Pour aller plus loin : Y a-t-il vraiment une seule solution ?

bh=2h+2b

bh-2h-2b=0

bh-2h-2b+4=4

b(h-2)-2h+4=4

b(h-2)-2(h-2)=4

(b-2)(h-2)=4

On remarque que b-2 et h-2 doivent être des diviseurs de 4 :

h-2	1	4	-2	2	-1	-4
b-2	4	1	-2	2	-4	-1

Les couples possibles (b,h) sont donc (6,3), (3,6), (0,0), (4,4), (-2,1), (1,-2). Les deux seuls couples qui respectent les contraintes de l’énoncé sont (3,6) et (6,3), mais dans les deux cas le plus long côté mesure 6 cm.

Un drôle de rectangle

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