Énoncé

Un hôtel à 1000 chambres numérotées de 1 à 1000 a besoin d’entretiens. Le premier concierge, après son ménage, s’assure que toutes les portes soient fermées. Le second concierge a la charge d’une chambre sur deux. Il ouvre la porte 2, la porte 4, la porte 6, et ainsi de suite. Le troisième a la charge d’une chambre sur trois. Il change l’état de la porte 3, 6, 9… c’est-à-dire qu’il ouvre les portes fermées et les portes ouvertes. Le quatrième concierge et tous les autres agissent de la même façon avec une porte sur quatre, une porte sur cinq, une porte sur six…

Quelles portes seront fermées après que le millième concierge eut complété sa ronde de ménage?