Voici la réponse :

Le cahier comporte 108 pages.

Première solution :

Les pages de 1 à 9 comportent un seul chiffre dans l’écriture du numéro de la page.

Les pages de 10 à 99 comportent 2 chiffres dans l’écriture du numéro de la page.

Les pages de 100 à 999 comportent 3 chiffres dans l’écriture du numéro de chaque page.

On veut que le nombre total de chiffres qu’on écrit soit deux fois plus grand que le nombre de pages.

On peut remarquer que lorsqu’on numérote une page de 10 à 99, on écrit 2 chiffres. Ainsi, ces pages respectent déjà la contrainte. Or, on ne commence pas à numéroter un cahier à partir de la page 10, mais bien à la page 1.

De plus, si on numérote une page de 1 à 9 et une page de 100 à 999, on aura écrit 4 chiffres et numéroté 2 pages. Nous avons utilisé 2 fois plus de chiffres qu’il y a de pages numérotées! Il faudra donc coupler chacune des pages de 1 à 9 avec une page de 100 à 999.

Comme il y a 9 pages de 1 à 9, il faut numéroter les pages 100 à 108. Au total, le nombre de chiffres utilisé est de

1 chiffre x 9 pages + 2 chiffres x 90 pages + 3 chiffres x 9 pages = 9 + 27 + 180 = 216 chiffres.

De plus, 108 x 2 = 216, ce qui confirme notre réponse.

Deuxième solution :

Les pages de 1 à 9 sont numérotées à l’aide d’un seul chiffre.

Les pages de 10 à 99 sont numérotées avec deux chiffres par page.

Les pages de 100 à 999 sont numérotées avec trois chiffres par page.

On veut que le nombre total de chiffres qu’on écrit soit deux fois plus grand que le nombre de pages. Faisons quelques exemples :

S’il y a une seule page, le nombre de chiffre est 1.

S’il y a 15 pages, le nombre de chiffres est 21 : 9 chiffres de 1 à 9, puis 2 chiffres pour chaque nombre de 10 à 15 (6 nombres).

S’il y a 100 pages, le nombre de chiffres est 192 : 9 chiffres de 1 à 9, puis 2 chiffres pour l’écriture des nombres de 10 à 99 (90 nombres, 180 chiffres) et 3 chiffres pour l’écriture du nombre 100.

On voit qu’en ajoutant des pages, le nombre de chiffres se rapproche du double du nombre de pages. En continuant ainsi, on trouve que s’il y a 108 pages, alors il y a 216 chiffres dans l’écriture des numéros de page, ce qui est bien le double de 108.

Le numérotage de pages

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